22 - Booléens et logique

Exercice 1 : QCM – vérification des prérequis

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

1. Quelle est la valeur de True and False ?

• A. True
• B. False
• C. None
• D. Erreur

2. Quelle est la table de vérité de l’opérateur OU ?

• A. OU ne vaut True que si les deux entrées sont True
• B. OU ne vaut True que si une seule des deux entrées est True
• C. OU vaut True dès qu’au moins une des deux entrées est True
• D. OU vaut True uniquement si les deux entrées sont différentes

3. Que vaut not(True or False) ?

• A. True
• B. False
• C. not True
• D. Erreur

4. En Python, le ET logique est noté :

• A. &&
• B. AND
• C. and
• D. &

Exercice 2 : exemple travaillé – dresser une table de vérité

Objectif : construire la table de vérité de l’expression $\overline{x} \text{ ou } y$ (en Python : not x or y).

Méthode : on crée une colonne pour chaque sous-expression, en évaluant de gauche à droite selon la priorité (NON avant ET avant OU).

Étape 1. Lister toutes les combinaisons possibles de $x$ et $y$ (avec deux variables, il y a $2^2 = 4$ lignes).

Étape 2. Calculer $\overline{x}$ (NON $x$) pour chaque ligne.

Étape 3. Calculer $\overline{x} \text{ ou } y$ en appliquant le OU entre la colonne $\overline{x}$ et la colonne $y$.

Vérification avec Python :

for x in [False, True]:
    for y in [False, True]:
        print(f"x={int(x)}, y={int(y)} → {int(not x or y)}")

Observation : cette expression est fausse uniquement quand $x = 1$ et $y = 0$. Elle correspond à l’implication logique ($x \Rightarrow y$).

Exercice 3 : tables de vérité guidées

3.1 Tables de base

Compléter les tables de vérité des opérateurs NON ET (NAND) et OU exclusif (XOR).

NAND : $\overline{x \text{ et } y}$

XOR : vrai si exactement un des deux est vrai

3.2 Expression composée

Construire la table de vérité de $(x \text{ et } \overline{y}) \text{ ou } (\overline{x} \text{ et } y)$ en suivant la méthode de l’exemple travaillé (une colonne par sous-expression).

Comparer la dernière colonne avec la table du XOR (exercice 3.1). Que constate-t-on ?

Exercice 4 : lois de De Morgan

Les lois de De Morgan sont deux identités fondamentales :

$$\overline{x \text{ ou } y} = \overline{x} \text{ et } \overline{y}$$ $$\overline{x \text{ et } y} = \overline{x} \text{ ou } \overline{y}$$

1. Démontrer la seconde loi à l’aide d’une table de vérité.
2. Vérifier les deux lois en Python pour toutes les combinaisons de x et y.

for x in [False, True]:
    for y in [False, True]:
        # Première loi
        assert not(x or y) == (not x and not y)
        # Seconde loi
        assert not(x and y) == (not x or not y)
print("Les deux lois de De Morgan sont vérifiées.")

Exercice 5 : logique et vie courante

5.1 Système d’alarme (sécurité)

Un système de sécurité déclenche l’alarme si la porte et la fenêtre sont ouvertes, ou si le détecteur de mouvement est activé. On note $P$ (porte ouverte), $F$ (fenêtre ouverte), $M$ (mouvement détecté) et $A$ (alarme).

1. Écrire l’expression booléenne de $A$ en fonction de $P$, $F$ et $M$.
2. Dresser la table de vérité (huit lignes).
3. Dans quels cas l’alarme ne se déclenche-t-elle pas ?

5.2 Conditions d’accès à un manège (loisirs)

Un manège autorise l’accès si l’enfant a au moins 10 ans ou mesure au moins 140 cm. De plus, un accompagnateur adulte est requis si l’enfant a moins de 12 ans. On note $G$ (âge ≥ 10), $T$ (taille ≥ 140), $J$ (âge < 12).

1. Écrire l’expression booléenne de l’accès autorisé : $A = G \text{ ou } T$.
2. Écrire l’expression de l’accompagnateur requis : $C = A \text{ et } J$.
3. Un enfant de 11 ans mesurant 135 cm peut-il monter ? Un accompagnateur est-il nécessaire ?

5.3 Simplification de conditions en Python (programmation)

Les lois de la logique permettent de simplifier des conditions complexes dans un programme. Pour chacune des conditions suivantes, écrire une condition équivalente simplifiée, puis vérifier en Python que les deux formes donnent le même résultat pour toutes les combinaisons de valeurs.

1. not(age >= 18 and solde >= 0)
2. not(note < 10 or absent)
3. not(not inscrit or not majeur)

# Version originale
not(age >= 18 and solde >= 0)
# Version simplifiée
age < 18 or solde < 0

# Version originale
not(note < 10 or absent)
# Version simplifiée
note >= 10 and not absent

# Version originale
not(not inscrit or not majeur)
# Version simplifiée
inscrit and majeur

for inscrit in [False, True]:
    for majeur in [False, True]:
        v1 = not(not inscrit or not majeur)
        v2 = inscrit and majeur
        assert v1 == v2
print("Toutes les simplifications sont vérifiées.")

Exercice 6 : multiplexeur et porte logique

6.1 Multiplexeur

On définit $\text{mux}(x,y,z) = (\overline{x} \text{ et } y) \text{ ou } (x \text{ et } z)$.

Compléter la table de vérité :

Que fait cette fonction ? (Quel rôle joue $x$ ?)

Exercice 7 : synthèse – simplification et énigme logique

7.1 Simplification avec l’algèbre de Boole

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les propriétés de l’algèbre de Boole (absorption, De Morgan, distributivité).

1. $A = a + a \cdot b$
2. $C = a + \overline{a} \cdot b$

7.2 Énigme logique (raisonnement)

Sur la planète CSI vivent les Profs (qui disent toujours la vérité) et les Élèves (qui mentent toujours). Vous croisez deux personnes A et B. A affirme : « Au moins l’un de nous deux est un élève. »

Déterminer ce que sont A et B.

Exercice 8 : table de vérité du XNOR

La fonction XNOR (NON OU exclusif) est définie par $a \odot b = \overline{a \oplus b}$.

1. Construire la table de vérité de $a \odot b$ (colonnes $a$, $b$, $a \oplus b$, $a \odot b$).
2. À quelle condition a-t-on $a \odot b = 1$ ?
3. Montrer que $a \odot b = a \cdot b + \overline{a} \cdot \overline{b}$.

Exercice 9 : le théorème du consensus

Le théorème du consensus affirme que $a \cdot b + \overline{a} \cdot c + b \cdot c = a \cdot b + \overline{a} \cdot c$.

1. Vérifier cette égalité à l’aide d’une table de vérité à huit lignes (colonnes $a$, $b$, $c$, $a \cdot b$, $\overline{a} \cdot c$, $b \cdot c$, membre de gauche, membre de droite).
2. Expliquer sans table pourquoi le terme $b \cdot c$ est redondant.

Exercice 10 : profs et élèves

Sur la planète CSI vivent des Profs, qui disent toujours la vérité, et des Élèves, qui mentent toujours. Vous croisez deux habitants A et B. A affirme : « Au moins l’un de nous deux est un élève. »

1. On note $a$ le booléen qui vaut 1 si A est un Prof et 0 si A est un Élève, et de même $b$ pour B. Écrire l’expression logique de l’affirmation de A.
2. Si A est un Prof, son affirmation est vraie : qu’en déduire sur B ?
3. Si A est un Élève, son affirmation est fausse : que se passe-t-il ?
4. Conclure : que sont A et B ?

Exercice 11 : conditions d’accès

Un système de sécurité autorise l’accès si l’utilisateur a un badge valide et entre un code correct, ou s’il est administrateur (quels que soient le badge et le code). On note $B$ « badge valide », $C$ « code correct » et $A$ « administrateur ».

1. Écrire l’expression logique de la condition d’accès.
2. Construire sa table de vérité (huit lignes).
3. Peut-on simplifier l’expression ? Que signifie la propriété d’absorption $A + A \cdot X = A$ pour ce système ?

Exercice 12 : comparateur 1 bit

On souhaite concevoir un circuit qui compare deux bits $a$ et $b$ et produit trois sorties : $S$ vaut 1 si $a > b$, $E$ vaut 1 si $a = b$, $I$ vaut 1 si $a < b$.

1. Compléter la table de vérité (colonnes $a$, $b$, $S$, $E$, $I$).
2. Donner l’expression booléenne de chacune des sorties.
3. Quelle relation lie $S$, $E$ et $I$ ?